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標題

數學問題之整數值


問題


在100到1,000,000間的整數值之中，共有多少個整數值，將其每個位數的值加總等於5？例如：104,1+0+4=5算是一個。請寫出您的解達法，不需要程式，我們要了解的是應徵者遇到問題的時候思考是否細心與表達能力。更新:∮陽光小子∮謝謝你這麼辛苦的把答案通通列出來但不知答案對不對...還有其他大大可以算出答案嗎?更新2:哇~數學好的人好多喔謝謝各位但~linch的答案正確嗎?


最佳解答


張伯倫： 你算的個數也不對 2009-03-14 01:19:00 補充： 陽光小子： 少了好幾個 例如 10400, 40100 2009-03-14 01:57:40 補充： 5 = 1+ 4 = 2 + 3 = 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 數字組合 {5} 三位數{5,0,0} ==> 1 種 (首位不為 0) 四位數(5,0,0,0} ==> 1 種 五位數{5,0,0,0,0} ==> 1 種 六位數(5,0,0,0,0,0} ==> 1 種 合計 4 種 數字組合 {1,4} 三位數{1,4,0} ==> 2! + 2! = 4 ( 1 在首加上 4 在首 ) 四位數(1,4,0,0} ==> 3!/2! + 3!/2! = 6 ( 1 在首加上 4 在首 ) 五位數{1,4,0,0,0} ==> 4!/3! + 4!/3! = 8 ( 1 在首加上 4 在首 ) 六位數(1,4,0,0,0,0} ==> 5!/4! + 5!/4! = 10 ( 1 在首加上 4 在首 ) 合計 28 種 數字組合 {2,3} 同 數字組合 {1,4} 合計 28 種 數字組合 {1,1,3} 三位數{1,1,3} ==> 3!/2! = 3 四位數(1,1,3,0} ==> 3! + 3!/2! = 9 ( 1 在首加上 3 在首 ) 五位數{1,1,3,0,0} ==> 4!/2! + 4!/(2!2!) = 18 ( 1 在首加上 3 在首 ) 六位數(1,1,3,0,0,0} ==> 5!/3! + 5!/(3!2!) = 30 ( 1 在首加上 3 在首 ) 合計 60 種 數字組合 {1,2,2} 同 數字組合 {1,1,3} 合計 60 種 數字組合 {1,1,1,2} 四位數(1,1,1,2} ==> 4!/3! = 4 五位數{1,1,1,2,0} ==> 4!/2! + 4!/3!= 16 ( 1 在首加上 2 在首 ) 六位數(1,1,1,2,0,0} ==> 5!/(2!2!) + 5!/(3!2!) = 40 ( 1 在首加上 2 在首 ) 合計 60 種 數字組合 {1,1,1,1,1} 五位數{1,1,1,1,1} ==> 1 六位數(1,1,1,1,1,0} ==> 5!/4 = 5 ( 1 在首 ) 合計 6 種 因此共 246 種 104, 113, 122, 131, 140, 203, 212, 221, 230, 302, 311, 320, 401, 410, 500, 1004, 1013, 1022, 1031, 1040, 1103, 1112, 1121, 1130, 1202, 1211, 1220, 1301, 1310, 1400, 2003, 2012, 2021, 2030, 2102, 2111, 2120, 2201, 2210, 2300, 3002, 3011, 3020, 3101, 3110, 3200, 4001, 4010, 4100, 5000, 10004, 10013, 10022, 10031, 10040, 10103, 10112, 10121, 10130, 10202, 10211, 10220, 10301, 10310, 10400, 11003, 11012, 11021, 11030, 11102, 11111, 11120, 11201, 11210, 11300, 12002, 12011, 12020, 12101, 12110, 12200, 13001, 13010, 13100, 14000, 20003, 20012, 20021, 20030, 20102, 20111, 20120, 20201, 20210, 20300, 21002, 21011, 21020, 21101, 21110, 21200, 22001, 22010, 22100, 23000, 30002, 30011, 30020, 30101, 30110, 30200, 31001, 31010, 31100, 32000, 40001, 40010, 40100, 41000, 50000, 2009-03-14 01:59:18 補充： 100004, 100013, 100022, 100031, 100040, 100103, 100112, 100121, 100130, 100202, 100211, 100220, 100301, 100310, 100400, 101003, 101012, 101021, 101030, 101102, 101111, 101120, 101201, 101210, 101300, 102002, 102011, 102020, 102101, 102110, 102200, 103001, 2009-03-14 01:59:25 補充： 103010, 103100, 104000, 110003, 110012, 110021, 110030, 110102, 110111, 110120, 110201, 110210, 110300, 111002, 111011, 111020, 111101, 111110, 111200, 112001, 112010, 112100, 113000, 120002, 120011, 120020, 120101, 120110, 120200, 121001, 121010, 121100, 2009-03-14 01:59:32 補充： 122000, 130001, 130010, 130100, 131000, 140000, 200003, 200012, 200021, 200030, 200102, 200111, 200120, 200201, 200210, 200300, 201002, 201011, 201020, 201101, 201110, 201200, 202001, 202010, 202100, 203000, 210002, 210011, 210020, 210101, 210110, 210200, 2009-03-14 01:59:36 補充： 211001, 211010, 211100, 212000, 220001, 220010, 220100, 221000, 230000, 300002, 300011, 300020, 300101, 300110, 300200, 301001, 301010, 301100, 302000, 310001, 310010, 310100, 311000, 320000, 400001, 400010, 400100, 401000, 410000, 500000 2009-03-14 02:21:31 補充： 給發問者： 我下面的數據是寫程式電腦跑出來的！ 2009-03-14 08:18:40 補充： 用扣的也可以 {5,0,0,0,0,0} ==> 6!/5! = 6 扣掉 000005, 000050 ==> 4 種 {4,1,0,0,0,0} ==> 6!/4! = 30 扣掉 000014, 000041 ==> 28種 {3,2,0,0,0,0} ==> 6!/4! = 30 扣掉 000023, 000032 ==> 28種 {1,1,3,0,0,0} ==> 6!/(2!3!) = 60 不用扣一定至少三位數 2009-03-14 08:18:58 補充： {1,2,2,0,0,0} ==> 6!/(2!3!) = 60 不用扣一定至少三位數 {1,1,1,2,0,0} ==> 6!/(2!3!) = 60 不用扣一定至少三位數 {1,1,1,1,1,0} ==> 6!/5! = 6 不用扣一定至少三位數 共 246 種 2009-03-14 13:24:40 補充： 菩提大師又提供一個好方法 ( 這麼簡單我怎麼沒想到 :p ) 令六位數是 x1x2x3x4x5x6 則題目是要找 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 5 的非負整數解 所以共有 H(6,5) = C(10,5) = 252 扣去 100 以內的 5, 14, 23, 32, 41, 50 共 6 個 所以共有 246 個


其他答案


關鍵字+prag222,這題目我再javaworldpo過解答了2009-10-1515:45:43補充：這題目我再javaworldpo過解答了2009-11-0520:29:09補充：http://www.javaworld.com.tw/jute/post/view?bid=14&id=248166&sty=3&age=0&tpg=1&ppg=1#248166是喔謝謝你花這麼多時間幫我解答我不確定我的答案對不對，因為沒時間算不過解題的方法為假設題目是從0~1000000，共有多少個整數值，將其每個位數的值加總等於5；(先納入0~100的計算，後續再減去0~100符合的數字)5的組成，一定是所組成的數字小於5，例如6~9是不可能出現，最小的一個數字就是1個BIT的5，最大的數字就是7個BIT的5000000。而且因為是每個BIT分開後再相加，因此從BIT總數跳至下個BIT總數就是BIT能表示的最大值如，5是一個BIT，下一個符合答案的就是5+(一個BIT能表達的最大值就是9)=14，且下一個就是再加上9=23，直至下一個BIT的最大符合值，如50。因此0~100的就是05,14,23,32,41,50照上面所說的規則，可以得到100~199的數字，就是5+二個BIT能表達的最大值就是99)=104,113,122,131,140,(50+99=149後面再述)同理200~299的數字就是104,113,122,131,140這些數字+99，因此會出現203,212,221,230(140+99=239)前面提到的50+99=149及140+99=239都會因為超過規則(每個BIT都不會出現大於5)，所以得到另一個規則就是每100個，最後1個數字+99是不符合的，因此三個BIT的規則就會是5!+4!+3!+2!+1!。利用上面的規則可以解出四個BIT數就是5+999(三個BIT數的最大值)得到1004，且4個BIT數中的百位仍是加99，2個BIT數是加9。因此可得1000~2000符合的數字是5!+4!+3!+2!+1!，2000~2999符合的數字是4!+3!+2!+1!，3000~3999符合的數字是3!+2!+1!，4000~4999符合的數字是2!+1!利用這個方法就可以推算相同的五個BIT及六個BIT數，因為要忙開會，所以沒時間計算，但解題方法也是如同上述一般！最後再將這些總合減去0~100的符合數就是題目的解答2009-03-1318:36:24補充：在100到1,000,000間的整數值之中，共有多少個整數值，將其每個位數的值加總等於5？一共205個2009-03-1318:36:39補充：全部的答案如下104,113,122,131,140,203,212,221,230,302,311,320,401,410,5001004,1013,1022,1031,1040,1103,1112,1121,1130,1202,1211,1220,1301,1310,1400,2003,2012,2021,2030,2102,2111,2120,2201,2210,2300,3002,3011,3020,3101,3110,3200,4001,4010,4100,5000,2009-03-1318:36:53補充：10004,10013,10022,10031,10040,11003,11012,11021,11030,11102,11111,11120,11201,11210,11300,12002,12011,12020,12101,12110,12200,13001,13010,13100,14000,20003,20012,20021,20030,21002,21011,21020,21101,21110,21200,22001,22010,22100,23000,30002,30011,30020,31001,31010,31100,32000,40001,40010,41000,500002009-03-1318:37:58補充：100004,100013,100022,100031,100040,100103,100112,100121,100130,100202,100211,100220,100301,100310,100400,101003,101012,101021,101030,102002,102011,102020,103001,103010,104000,2009-03-1318:38:07補充：110003,110012,110021,110030,110102,110111,110120,110201,110210,110300,111002,111011,111020,112001,112010,113000,120002,120011,120020,120101,120110,120200,121001,121010,122000,130001,130010,130100,131000,2009-03-1318:38:16補充：140000,200003,200012,200021,200030,200102,200111,200120,200201,200210,200300,201002,201011,201020,202001,202010,203000,210002,210011,210020,210101,210110,210200,211001,211010,212000,220001,220010,220100,221000,230000,2009-03-1318:38:23補充：300002,300011,300020,300101,300110,300200,301001,301010,302000,310001,310010,310100,311000,320000,400001,400010,400100,401000,410000,500000參考資料：ME,ME,ME,ME,ME,ME,ME,ME張伯倫大大你好像少算5的數字例如500、50、5.......等5=1+4=2+3=1+1+3=1+2+2=1+1+1+2=1+1+1+1+1三位數:104/401/140/410/203/302/320/230/221/122/212/--11個四位數:1040/4010/1400..../2120---11個/1112/1121/1211/2111---共15個五位數:10400/....21110/11111共16個六位數:104000...共16個全部58個參考資料：自己


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